APLIKASI
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DALAM ILMU EKONOMI
Diajukan
untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Ekonomi II
Disusun
Oleh:
Kelompok
8
1. Wayan Eka Susanti NPM: 1287203038
2. Yeni Andriani NPM: 1287203039
3. Gita Gilang Gayatri NPM: 1287203040
4. Widya Tri Aulia NPM: 1287203041
5. Ardian Mariyanto NPM: 1287203042
Dosen
Pengampu : Agung
Hariatmaka, M.Pd
Semester
: III (Tiga)
Majelis Pendidikan Tinggi Penelitian dan
Pengembangan Muhammadiyah
Sekolah Tinggi Ilmu Keguruan dan Ilmu
Pendidikan (STKIP)
Muhammadiyah Sampit
Tahun Akademik 2012/2013
I.
PERSAMAAN
EKSPONEN
A. Persamaaan Eksponen
Persamaan
eksponen adalah persamaan yang pengubahnya berfungsi sebagai esponen (pangkat)
dari suatu bilangan berpangkat.
Contoh: 1).
Ada beberapa
bentukpersamaan eksponen, yaitu sebagai berikut :
1.
af(x) = 1
2.
af(x) =
3.
af(x) =
4.
af(x) =
5.
af(x) =
6.
f(x)g(x) = f(x) h(x)
7.
f(x)g(x) = h(x) g(x)
8.
f(x)g(x) =1
9.
A.(af(x))2 + B.
.(af(x)) + C=0
Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan
eksponen perlu diingat sifat-sifat perpangkatan sebagai berikut :
1.
am .an = a m+n
2.
=
a m-n
3.
(a m ) =a m.n
4.
(a.b) n =
a n.b a
5.
=
6.
7.
8.
Sifat
sifat lain yang perlu diingat sebagai dasar penyelesaian persamaan eksponen
adalah :
1. Jika
=
dan a ≠ 0 , maka m = n
2. jika
=
dengan a dan b bilangan positif dan a ≠ b ≠ 1
, maka m=0
B.
Macam-macam Persamaan Eksponen
1.
Bentuk
af(x) = 1
a.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan 3
-5x+6=1
Penyelesaian
:
3
-5x+6=1
3
-5x+6=
-5x+6=0
−2) ( x-3 ) =0
X=2
atau x=3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}
b.
Tentukan penyelesaian dari persamaan
=1
Penyelesaian
:
=1
=4
3x-9=0
3x=9
X=3
Jadi
himpunana penyelesaiannya adalah {3}.
2. Bentuk
af(x) =
a.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=27
Penyelesaian
:
=27
=
4x
– 1 = 3
4x=4
X=1
à
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}.
b.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=
Penyelesaian
:
=
(
= 1.
=
2x-8=-3
2x=5
X=2
Jadi
himpunan penyelesaiannya adalah {2
}.
3. Bentuk af(x) =
a.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=
Penyelesaian
:
=
(
= (
=
2x+4=3x+3
2x-3x=3-4
-x =-1 à x =-1/-1=1
Jadi
himpunan penyelesaiannya adalah {1}.
b.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=
Penyelesaian
:
=
=
=
+3x+4=-2x-2
+3x+2x+4+2=0
+5x+6=0
)
(x+3)=0
atau x=-3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,-3}
4. Bentuk
af(x) =
a.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=
Penyelesaian
:
=
X=3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {3}
b.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=
Penyelesaian
:
=
(x-1)
x-4)=0
X=1
atau x=4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1, 4}
5. Bentuk af(x) =
a.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=
Penyelesaian
:
=
= log
(3x-1)
log 5=(2x+1) log3
3x
log 5 – log 5= 2x log 3 + log 3
3x
log 5 – 2x log = log 5+ log 3
X(3
log 5 – 2 log 3) = log 5 + log 3
X=
Jadi
himpunan penyelesaiannya adalah { X=
}
b.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan
=
Penyelesaian
:
=
=log
(x-1)
log 2 = (x+1) log 3
X
log 2- log 2 = x log 3 + log 3
X
log 2- x log 3 = log 2 + log 3
X
(log 2- log 3 ) = log 2 + log 3
X=
Jadi
himpunan penyelesaianya adalah { X=
}
6.
Bentuk
f (x)g(x) = f(x) h(x)
Persamaan eksponen
bentuk f(x)g(x) = f(x) h(x) mempunyai beberapa
kemungkinan penyelesaian , yaitu:
a.
f(x)=1
b.
g(x)=h(x)
c.
f(x)=-1 dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama genap atau f(x) dan
h(x) sama-sama ganjil.
d.
f(x)=0 dengan syarat g(x) dan h(x)
sama-sama positif.
Contoh
:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan (x-1
= (x-1
Penyelesaian
yang mungkin:
a.
f(x)=1 à
(x-1)=1
à
x=1+1 = 2
b.
g(X)= h(X) à
-5x+9=2x-3
à
-5x-2x+9+3=0
àx2-7x+12=0
à(x-4)(x-3)
=0
àx=4
atau x=3
c.
f(x)=-1 à(x-1)=-1
àx
= -1+1=0
syarat:
untuk x = 0 àg(0)=
-5.0+9=9 (ganjil)
àh(0)= 2.0-3 =-3
(ganjil)
g(x)
dan h(x) sama-sama ganjil, jadi x=0 adalah penyelesaian.
d.
f(x)=0 à(x-1)=0
àx=1
syarat:
untuk x=1 àg(1)=
-5.1+9=1-5+9=5 (positif)
à
h(1)=2.1-3=2-3=-1 (negative)
g(x)
positif dan h(x) negative , jadi x=1 bukan penyelesaian.
Dengan
demikian himpunan penyelesaiannya adalah
{0,2,3,4}
7.
Bentuk f(x)g(x) = h(x) g(x)
Persamaan bentuk f(x)g(x) = h(x) g(x) mempunyai beberapa kemungkinan penyelesaian yaitu:
a.
f(x)=h(x)
b.
g(x)=0 dengan syarat f(x) dan h(x)
≠0
contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan (2
-3x+1
=(
+x+6
penyelesaian yang mungkin adalah:
a.
f(x)=h(x) →
2
-3x+1=
+x+6
à2
-
=3x-x+1-6=0
à
-4x-5=0
à(x+1)(x-5)=0
àx=1 atau x=5
b.
g (x) = 0 à x – 2 = 0 à
x = 2
syarat
: untuk x = 2 à
f(2) = 2.22 – 3.2 + 1 = 8 – 6 + 1 = 3 ≠ 0
à
h(2) = 22 + 2 + 6 = 4 + 2 + 6
= 12 ≠ 0
f
(x) dan h (x) ≠ 0 , jadi x = 2 adalah penyelesaian.
Dengan
demikian himpunanan penyelesaiannya adalah { - 1 , 2 , 5 }
8. Bentuk f (x)g(x) = 1
Persamaan
eksponen bentuk f(x)g(x) = 1 mempunyai beberapa kemungkinan
penyelesaian yaitu :
a.
g (x) = 0 dengan syarat f(x ) ≠ 0.
b.
f (x) = 1
c.
f (x) = - 1 dengan syarat g (x) genap
contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan (x2 + x – 1 ) (
)=1
Penyelesaian yang mungkin adalah :
a .g (x) = 0 à x2 –
4 = 0 → x2 – 4 à x = ± 2
syarat : untuk x = 2 → f (2) = 22 + 2 -1 = 4 +2 –
1 = 5 ≠ 0
untuk x = -2
→ f (-2 )= (-2 )2+ (-2) – 1 = 4 – 2 – 1 = 1 ≠ 0
f (x) ≠ 0 ,jadi 2 dan -2 adalah
penyelesaian
b
. f ( x) = 1 à
x2 + x – 1 = 1 à x2 + x – 1 – 1 = 0 à
x2 + x -2 = 0
à
( x – 1 ) ( x + 2) – 0
à
x = 1 atau x = - 2
c . f ( x ) = - 1 à
x2 + x - 1 = -1 à
x2 + x – 1 + 1 = 0 → x2 + x = 0
à
(x + 1 ) x = 0
à x = - 1 atau x = 0
Syarat: Untuk
x = - 1 à
g( -1) = (-1)2 – 4 = 1 – 4 = - 3 (ganjil) , jadi x = -1 bukan penyelesaian.
Untuk
x = 0 → g(0) = 02 – 4
= 0 – 4 = - 4 ( genap ), jadi x = 0
adalah penyelesaian .
Dengan demikian himpunab
penyelesaiannya adalah { - 2 , 0 , 1 , 2
}
9.
Bentuk A. (a f ( x) ) 2 + B (a f ( x ) ) + C =
0 , dengan A ≠ 0
Bentuk
persamaaan ini dapat diselesaikan dengan
mengubah ke bentuk persamaan kuadrat dalam a f(x)
Contoh :
a.
Tentukan himpunana penyelesaian
persamaan 4 2x + 4x – 2 = 0
penyelesaian :
42x + 4x – 2 = 0
à(4x)2
+ 4x – 2 =0
misal y = 4x , diperoleh
persamaan :
y2 + y – 2 = 0 (persamaaan kuadrat dalam
y )
à(
y + 2 ) ( y -1 ) = 0
à y = -2 atau y =
1
untuk y = - 2 à 4x =
-2 ( tidak ada penyelesaian )
untuk x = 1 à
4x = 1 → x = 0
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {0}
b.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
4x + 2 x-1 = 8
Penyelesaian :
4x + 2 x+1 = 8 à
(22) x + 2x .21- 8 = 0 → (2x)2
+ 2.2x -8 = 0
Misal y = 2 x , diperoleh
persamaan:
y2 +2y – 8 = 0 (persamaan
kuadrat dalam y)
à( y + 4) ( y –
2) = 0
ày = - 4 atau y =
2
àuntuk y =
-4 à 2x =
-4 ( tidak ada penyelesaian )
àuntuk y = 2 à
2x = 2 à
x = 1
Jadi,
himpunan penyelesaianya adalah { 1 }
II
. FUNGSI EKSPONEN
A.
Fungsi
Eksponen
Bentuk
umum fungsi eksponen adalah f ( x )= k.
,
0 > a ≠ 1
1. Bila
fungsi f (x ) = k.a f(x) dengan a > 1 , a ϵ Q dan x ϵ R .
maka fungsi f ( x) disebut fungsi naik
2. Bila
fungsi f(x) = k.a f(x) .
dengan 0 < a < 1 , a ϵ Q dan x ϵ R
maka fungsi f (x ) disebut fungsi turun
Grafik
fungsi eksponen berupa garis lengkung yang selalu memontong sumbu Y di
titik ( 0,1) dan selalu berada di atas
sumbu X . Perhatikan gambar di bawah
ini.
Contoh
:
1. Gambarkan
grafik fungsi f (x ) = 2x , untuk – 3 ≤ x ≤ 3 !
Penyelesaian :
Fungsi
eksponen y = f (x ) = 2 x
|
X
|
-3
|
-2
|
- 1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
Y – 2 x
|
|
|
|
1
|
2
|
4
|
8
|
3. Gambarkan
grafik fungsi f(x)=
x
untuk – 3 ≤ x
≤
3
!
Penyelesaian
:
|
X
|
-
3
|
-2
|
- 1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
Y–
x
|
8
|
4
|
2
|
1
|
|
|
|
Fungsi
Eksponen y = f ( x ) =
x
B.
Pertidaksamaan
Eksponen
Dari
grafik fungsi eksponen di atas tampak bahwa:
1.Untuk
a > 1
þ Bila
a f(x) ≥ a g (x) , maka f ( x) ≥ g (x)
þ Bila a f (x) ≤ a g (x) ,
maka f(x) ≤ g (x)
2 . Untuk
0 < a < 1
þ Bila
a f(x) ≥ a g (x) , maka f ( x) ≥ g (x)
þ Bila a f (x) ≤ a g (x) ,
maka f(x) ≤ g (x)
Contoh:
1. Tentukan
nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 24x-7
> 8!
Penyelesaian :
24x-7 > 8
ð 24
x – 7 > 23 , karena a = 2 , a > 1
Maka
:
ð 4x
– 7 > 3
ð 4x
> 10
ð X > 2 ½
Jadi nilai yang memenuhi adalah x > 2 ½
2. Tentukan batas–batas nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan
3x4 <
2x-3
Penyelesaian
:
3x
– 4 <
2x-3 , karena
a = ½ dan 0<a < 1
Maka
:
3x
+4 > 2x -3
ð 3x
-2x > -3 – 4
ð x
> -7
Jadi
batas nilai x yang memenuhi adalah x > - 7
3. Tentukan
batas – batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x2+3x-2 ≤ 16 x-2
Penyelesaian
2x2+3x-2 ≤ 16 x-2
ð 2x2+3x-2 ≤ (24) x-2
ð 2x2+3x-2 ≤ (24) x-2
ð 2x2+3x-2 ≤
24x-8 ( a = 2 , a
> 1)
Maka :
x2 + 3x – 2
≤ 4x – 8
ð x2
+ 3x -4x – 2 + 8 ≤ 0
ð x2
– x – 6 ≤ 0
ð (
x + 2 ) ( X- 3) ≤ 0
Jadi
batas nilai x adalah -2 ≤ x ≤ 3
4. Tentukan
batas –batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
–4 >
6-2x
Penyelesaian
:
– 4 >
6.2x ( a – ½ , 0 < a < 1 )
Maka
:
x2
– x < 6 -2 xA
ð x2 – x + 2x – 6 < 0
ð x2
+ x – 6 < 0
ð (x
+3) ( x -2) < 0
Jadi
batas nilai x yang memenuhi adalah X ≤ - 3 atau
x ≥ 2
C. Penerapan Fungsi Eksponen
Fungsi
eksponen dapat diterapkan dalam beberapa permasalahan di antaranya adalah masalah
pertumbuhan dan peluruhan (Penyusutan).
1.
Pertumbuhan
Pertumbuhan
adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami penambahan atau kenaikan
secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam pertumbuhan adalah
pertambahan penduduk, perhitungan bunga majemuk di bank dan lain-lain. Bila
keadaan awal dinyatakan dengna M, laju pertumbuhan dinyatakan dengan i dan
lamanya pertumbuhan dengan n, maka keadaan setelah n periode adalah:
Contoh :
1)
Amir menabung uang di bank sebesar Rp
500.000,00 dengan bunga majemuk sebesar 5% setahun. Berapa uang Amir setelah 3
tahun ?
Penyelesaian
:
Modal
awal + M = 500.000,00, suku bunga = i = 5% - 0,05, periode = n = 3
Mn = M
M3 = 500.000,00
=
500.000,00
=
500.000,00(1,157625)
=
578.812,50
Jadi uang Amir setelah
3 tahun sebesar Rp 578.812,50
2)
Suatu modal sebesar Rp 1.000.000,00
dibungakan dengan bunga majemuk dengan suku bunga 4% empat bulan. Tentukan
besarnya modal itu setelah dibungakan selama 3 tahun ?
Penyelesaian
:
Modal
= M = 1.000.000,00, suku bunga i = 4% tiap 4 bulan, karena periodenya tiap 4
bulan, maka dalam 1 tahun ada 3 periode, 3 tahun ada 9 periode dengan demikian
n = 9
Mn
= M
M9
= 1.000.000,00
= 1.000.000,00
= 1.000.000,00(1,42)
= 1.420.000,00
Jadi
besarnya modal setelah 3 tahun adalah Rp 1.420.000,00
3)
Banyak penduduk suatukota mula-mula
600.000 jiwa. Banyak penduduk kota itu setelah n tahun adalah Pn = P
. Tentukan banyak penduduk kota itu
setelah 10 tahun !
Penyelesaian
:
P
= 600.000 n = 10
Pn
= P
P10
= 600.000
= 600.000(1,2)
= 720.000
Jadi
setelah 10 tahun penduduk kota itu sebanyak 720.000 jiwa.
2.
Peluruhan
(Penyusutan)
Peluruhan
(penyusutan) adalah berubahnya suatu keadaan yang mengalami pengurangan
(penyusutan) secara eksponensial. Peristiwa tyang termasuk dalam peluruhan
(penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif, penyusutan harga
suatu barang, dan lain-lain.
Bila
keadaan awal dinyatakan dengan M, laju peluruhan (penyusutan) dengan i dan
lamanya peluruhan (penyusutan) dengan n, maka keadaan setelah n periode
dinyatak dengan :
Contoh
:
1)
Sebuah mobil dengan harga Rp
30.000.000,00 tiap – tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga
mobil setelah 4 tahun ?
Penyelesaian
:
M
= Rp 30.000.000,00, i = 10 = 0,1, n = 4
Mn
= M
M4
= 30.000.000
= 30.000.000
= 30.000.000(0,6561)
= 19.683.000
Jadi
harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 19.683.000,00
2)
Kadar radioaktif mineral meluruh secara
eksponensial dengan laju peluruhan 8% setiap jam. Berapa persen kah kadar
radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam ?
Penyelesaian
:
Jika
kadar radioaktif mula – mula M, maka kadar radioaktif mineral setelah 3 jam
adalah :
M3
= M
, dengan i = 8% = 0,08
= M
= M
= M(0,778688)
Jadi
setelah 3 jam kadar radioaktif mineral tinggal (0,778688) x 100% = 77,8688%.
SOAL – SOAL :
1.
Sederhanakanlah :
a. (3x
(
b. (
c.
d.
e.
2.
Tentukan himpunan penyelesaiaan (HP)
dari persamaan eksponen dibawah ini:
a.
-
b.
=
c.
d. 8x-2
=
e.
3.
Tentukan himpunan penyelesaiaan (HP)
dari persamaan eksponen dibawah ini:
a.√8
x-1 =
b.
3x2+3x+4=9x-1
c.
3x2-5x+4= 5x2-5x+4
d.
=
e.
32x+1-10.3x+3=0
4.
Tentukan himpunan penyelesaiaan (HP)
dari pertidaksamaan eksponen dibawah ini:
a.
3x2+3x+2≤81x-2
b.
(
x2-x≤(
x2-4
c.
92x-4≥
x2-4
d.
22x+1-5.2x+1+8≥0
e.
93x-2.33x+1-27≤0
5. Wayan
menabung di Bank A sebesar Rp 200.000,- untuk jangka waktu tertentu dengan
bunga majemuk 40% per tahun. Berapakah uang Wayan setelah 5 tahun ?
6. Tentukan
besarnya uang yang ditabungkan ke Bank dengan bunga majemuk 20% per tahun agar
dalam waktu 4 tahun uang itu menjadi Rp 10.000.000,- ?
7. Jumlah
penduduk kota X pada tahun 1994 mencapai 2 juta jiwa. Bila jumlah penduduk di
kota tersebut meningkat dengan laju 2,5% per tahun dan andaikan laju
pertambahan itu tetap sebesar itu pada setiap tahunnya, tentukanlah banyaknya
penduduk di kota X pada tahun 1999 ?
8. Untuk
setiap meter masuk kebawah permukaan laut, intersitas cahaya berkurang sekitar
2,5%. Pada kedalam berapakah intensitas cahayanya tinggal 50% dari intensitas
cahaya dipermukaan air laut ?
9. Bakteri
E-coli adalah suatu bakteri yang tunggal. Ia membelah diri menjadi 2 setiap
sekitar 20 menit bila berada pada kondisi yang ideal bagi kehidupannya. Jika
satuan waktunya 20 menit, maka waktu yang diperlukan untuk perkembangan bakteri
E-coli yang pada awalnya ada 1000 bakteri sehingga menjadi 64000 bakteri adalah
...
10. Misalkan
anda menyimpan uang diBank sebesar Rp. 500.000,- dengan tingkat suku bunga
majemuk 12% per tahun. Lamanya waktu yang diperlukan supaya uang simpanan anda
di Bank menjadi 2x lipat adalah ...
11. Untuk
setiap meter dibawah permukaan air laut, misalkan intensitas cahayanya
berkurang 15 %. Jika intensitas cahayanya tinggal 40% dari intensitas cahaya di
permukaan, maka kedalaman dilautnya adalah ...
12. Yeni
menabung di Bank sebesar Rp. 200.000,-. Bank memberikan bunga majemuk sebesar
2% per bulan. Tentukan besarnya uang Yeni setelah 8 bulan?
13. Gita
menabung sejumlah uang di Bank dengan suku bunga 20% per tahun. Agar dalam
waktu 3 tahun uang Gita menjadi Rp. 345.600.000,-. Berapa besar Gita harus
menabung pada awal tahun?
14. Pertumbuhan
penduduk suatu kecamatan berjalan secara eksponensial dengan laju pertumbuhan
2% per tahun. Pada tahun 1992 banyak penduduk kecamatan itu 200.000 jiwa.
Berapakah banyak penduduk kecamatan tersebut pada tahun 1996?
15. Harga
suatu mesin elektronik sebesar Rp. 1.000.000,-. Tiap-tiap tahun menyusut 10%.
Tentukan harga mesin elektronik tersebut setelah tahun ke-2?
16. Sebuah
sepeda motor dibelidengan harga Rp.
7.200.000,- . setiap tahun harga sepeda motor tersebut menyusut 15% dari harga
pada akhir tahun sebelumnya. Berapa harga sepeda motor tersebut setelah 4 tahun ?
17. Suatu
zat radioaktif meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 25% setiap
jam. Tinggal berapa persen kadar radioaktifitu setelah 6 jam?
18. Widya
menabung di bank sebesar Rp.825.000,-
dengan bunga 3% tiap 6 bulan. Tentukan besarnya
uang widya setelah 2 tahun?
19. Dian
menabung di bank sebesar Rp.1.500.000,- dengan bunga majemuk 6% tiap 1 tahun
.Tentukan besarnya uang Dian setelah 5 tahun ?
20. Gambar
grafik fungsi eksponen f(x) = 3x dengan interval
.
21. Diketahui
fungsi f (x) = 3 √32x-1
a. Nyatakan
fungsi tersebut dalam bentuk f(x) = ka x
b. Tentukan
nilai f
+
f
22. Diketahui
fungsi f (x) = 2 log 4x. Grafik fungsi tersebut untuk x ≥ 1 adalah
...
23. Gambarkan
grafik fungsi f(x) = 4-2x-1.
SUMBER :
ü Astuti,
Anna Yuni, Miyanto. 2011. PR Matematika. Klaten
: PT. Inten Pariwara.
ü Tim
Belia. 2010. Belia Cepat ( Belajar Ilmu
Aritmatika Dan Aljabar ) SMP-SMA. Bandung : Popy M.
ü Aksin,
Nur, Miyanto. 2012. Detik-Detik Ujian
Nasional Matematika. Klaten : PT. Intan Pariwara.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar